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Exercise 3.3

まずは前方差分を得るために、任意の数 aa と、任意のとても小さい ε>0\varepsilon>0 を取り、f(a+ε)f(a+\varepsilon) を aa 点周りでテーラー展開して以下の式を得る。

f(a+ε)=f(a)+f′(a)ε+f′′(a)2!ε2+f′′′(a)3!ε3+⋯(ex3.3.1)\tag{ex3.3.1} f(a+\varepsilon) = f(a)+f'(a)\varepsilon+\frac{f''(a)}{2!}\varepsilon^{2}+\frac{f'''(a)}{3!}\varepsilon^{3}+\cdots

この式を変形すると

f(a+ε)−f(a)ε=f′(a)+f′′(a)2!ε+f′′′(a)3!ε2+⋯\frac{f(a+\varepsilon) - f(a)}{\varepsilon} = f'(a)+\frac{f''(a)}{2!}\varepsilon+\frac{f'''(a)}{3!}\varepsilon^{2}+\cdots

となり、さらに移項した後の絶対値を取ることで、以下の様に、前方差分の誤差を得ることができる。

∣f(a+ε)−f(a)ε−f′(a)∣=∣f′′(a)2!ε+f′′′(a)3!ε2+⋯ ∣(ex3.3.2)\tag{ex3.3.2} \left| \frac{f(a+\varepsilon) - f(a)}{\varepsilon} - f'(a) \right| = \left| \frac{f''(a)}{2!}\varepsilon+\frac{f'''(a)}{3!}\varepsilon^{2}+\cdots \right|

同様に、 (a−ε)(a-\varepsilon) を aa 点周りでテーラー展開して

f(a−ε)=f(a)−f′(a)ε+f′′(a)2!ε2−f′′′(a)3!ε3+⋯(ex3.3.3)\tag{ex3.3.3} f(a-\varepsilon) = f(a)-f'(a)\varepsilon+\frac{f''(a)}{2!}\varepsilon^{2}-\frac{f'''(a)}{3!}\varepsilon^{3}+\cdots

と後方差分の誤差

∣f(a)−f(a−ε)ε−f′(a)∣=∣−f′′(a)2!ε+f′′′(a)3!ε2−⋯ ∣(ex3.3.4)\tag{ex3.3.4} \left| \frac{f(a)-f(a-\varepsilon) }{\varepsilon} - f'(a) \right| = \left| -\frac{f''(a)}{2!}\varepsilon+\frac{f'''(a)}{3!}\varepsilon^{2}-\cdots \right|

を得ることができる。

次に、(ex3.3.1)式と(ex3.3.3)式の差分から、

f(a+ε)−f(a−ε)=2f′(a)ε+2f′′′(a)3!ε3+2f′′′′′(a)5!ε5+⋯f(a+\varepsilon) - f(a-\varepsilon) = 2f'(a)\varepsilon+2\frac{f'''(a)}{3!}\varepsilon^{3}+2\frac{f'''''(a)}{5!}\varepsilon^{5}+\cdots

を得られるので、両辺を 2ε2 \varepsilon で割って移項すると、中央差分の誤差

∣f(a+ε)−f(a−ε)2ε−f′(a)∣=∣f′′′(a)3!ε2+f′′′′′(a)5!ε4+⋯ ∣(ex3.3.5)\tag{ex3.3.5} \left| \frac{f(a+\varepsilon) - f(a-\varepsilon) }{2\varepsilon} - f'(a) \right| = \left| \frac{f'''(a)}{3!}\varepsilon^{2}+\frac{f'''''(a)}{5!}\varepsilon^{4}+\cdots \right|

も得ることができる。

ここで(ex3.3.2)式、(ex3.3.4)式、(ex3.3.4)式の各誤差の右辺の各項を順番に見比べると、前方差分・後方差分の nn 項目 ε\varepsilon の乗数が nn なのに対し、中央差分の nn 項目では 2n2n となっている。今、十分に小さい ε\varepsilon を取っているので、これらを比較すると、中央差分の誤差の方が小さくなることがわかる。