Exercise 9.1

$x=x_0$ での微分可能性

まず、与えられた $g(x)$ の導関数を計算して、

$$\begin{aligned} g'(x) &= f'(x) - kh'(x)(1-h(x)) - k h(x)(-h'(x)) \\ &= f'(x) - kh'(x) + \underline{kh'(x)h(x)} + \underline{kh(x)h'(x)} \\ &= f'(x) - kh'(x) + 2kh'(x)h(x) \end{aligned}$$

を得る。 $h(x) \xrightarrow{x \to x_0} 0$ なので、 $x_0$ での微分係数を求める際は $f'(x) - kh'(x)$ のみを計算すれば良い。

さて、P.130の(9.1)式より $\lim_{x \to x_0-0}f'(x) = a'(x_0)$ であり、 $h(x)$ の左微分係数が $0$ であることから、 $g(x)$ の左微分係数は以下の様に容易に導かれる。

$$\lim_{x \to x_0-0}g'(x) = \lim_{x \to x_0-0}f'(x) - \lim_{x \to x_0-0}kh'(x) = a'(x_0) - 0 = a'(x_0)$$

次に、P.130の(9.1)式より、$\lim_{x \to x_0+0}f'(x) = a'(x_0) - \frac{b'(x_0) - a'(x_0)}{2}$ であり、$h(x)$ の右微分係数が $-\frac{b'(x_0) - a'(x_0)}{2k}$ であることから、 $g(x)$ の右微分係数も以下の様に求められる。

$$\begin{aligned} \lim_{x \to x_0+0}g'(x) &= \lim_{x \to x_0+0}f'(x) - \lim_{x \to x_0+0}kh'(x) \\ &= a'(x_0) - \frac{b'(x_0) - a'(x_0)}{2} - k(-\frac{b'(x_0) - a'(x_0)}{2k}) \\ &= a'(x_0) - \frac{b'(x_0) - a'(x_0)}{2} + \frac{b'(x_0) - a'(x_0)}{2} \\ &= a'(x_0) \end{aligned}$$

上記より $x = x_0$ で、左微分係数と右微分係数が等しいので、微分可能であることがわかった。

$x=x_1$ での微分可能性

$x=x_0$の時と同様に、

$$g'(x) = f'(x) - kh'(x) + 2kh'(x)h(x)$$

であり、$h(x) \xrightarrow{x \to x_1} 1$ なので、 $x_1$ での微分係数を求める際は $f'(x) + kh'(x)$ のみを計算すれば良い。

さて、P.130の(9.2)式より $\lim_{x \to x_1-0}f'(x) = b'(x_1) + \frac{b'(x_1) - a'(x_1)}{2}$ であり、 $h(x)$ の左微分係数が $-\frac{b'(x_1) - a'(x_1)}{2k}$ であることから、 $g(x)$ の左微分係数は以下の様に計算できる。

$$\begin{aligned} \lim_{x \to x_1-0}g'(x) &= \lim_{x \to x_1-0}f'(x) + \lim_{x \to x_1-0}kh'(x) \\ &= b'(x_1) + \frac{b'(x_1) - a'(x_1)}{2} - k\frac{b'(x_1) - a'(x_1)}{2k} \\ &= b'(x_1) \end{aligned}$$

次に、P.130の(9.2)式より、$\lim_{x \to x_1+0}f'(x) = b'(x_1)$ であり、また $h(x)$ が $h(x)=1$のまま $h(x_1) = 1$に近づくことから、右微分係数が $0$ であることがわかる。 これらの事実より、$g(x)$ の右微分係数も以下の様に求められる。

$$\begin{aligned} \lim_{x \to x_1+0}g'(x) &= \lim_{x \to x_1+0}f'(x) + \lim_{x \to x_1+0}kh'(x) \\ &= b'(x_1) \end{aligned}$$

上記より $x = x_1$ で、左微分係数と右微分係数が等しいので、微分可能であることがわかった。