Exercise 7.2

まず、任意の $p \leq 1$ と2つのベクトル $A = (a_0, a_1), B = (b_0, b_1)$ をとる。
$d_p$ の定義を2通りで計算することで

$$\begin{aligned} d_p(A, B) &= ( |a_0 - b_0| ^ p + |a_1 - b_1| ^ p ) ^ {\frac{1}{p}} \\ &\leq ( 2 \text{max}(|a_0 - b_0|, |a_1 - b_1|) ^ p ) ^ {\frac{1}{p}} \\ &= 2 ^ {\frac{1}{p}} \text{max}(|a_0 - b_0|, |a_1 - b_1|) \\ &= 2 ^ {\frac{1}{p}} d_将(A, B) \xrightarrow{p\to\infty} d_将(A, B) \end{aligned}$$

と逆向きの不等号の式

$$\begin{aligned} d_p(A, B) &= ( |a_0 - b_0| ^ p + |a_1 - b_1| ^ p ) ^ {\frac{1}{p}} \\ &\geq ( \text{max}(|a_0 - b_0|, |a_1 - b_1|) ^ p ) ^ {\frac{1}{p}} \\ &= \text{max}(|a_0 - b_0|, |a_1 - b_1|) \\ &= d_将(A, B) \end{aligned}$$

を得る。

上記より、 $d_p \xrightarrow{p\to\infty} d_将$ であることがわかった。